Page 20 - 6028

Беручи зворотне перетворення Фур'є цього ідеального частотного відгуку,
виходить ідеальне ядро фільтра (імпульсна характеристика), показане в (b). Згортка
вхідного сигналу з цим ядром фільтра забезпечує ідеальний фільтр нижніх частот.
Проблема полягає в тому, що функція sinc продовжує як негативну, так і позитивну
нескінченність без падіння до нульової амплітуди. Хоча ця нескінченна довжина не є
проблемою для математики, вона являє собою проблемою для комп'ютерів.
Щоб обійти цю проблему, ми зробимо дві модифікації функції sinc в (b), в
результаті отримаємо форму хвилі, показану в (c). По-перше, він усічений до M+1 точок,
симетрично обраних навколо основної пелюстки, де M - парне число. Всі зразки поза
цими М+1 точками встановлені на нуль або просто ігноруються. По-друге, вся
послідовність зсувається вправо, так що вона працює від 0 до M. Це дозволяє відображати
ядро фільтра з використанням тільки позитивних індексів. У той час як багато мов
програмування допускають негативні індекси, добрим тоном вважається використання
додатніх індексів. Єдиний ефект цього зсуву M/2 в ядрі фільтра полягає в зміщенні
вихідного сигналу на ту ж величину.
Оскільки модифіковане ядро фільтра є лише наближенням до ідеального фільтру,
воно не матиме ідеальної частотної характеристики. Щоб знайти отриману частотну
характеристику, перетворення Фур'є можна взяти з сигналу в (c), в результаті отримаємо
криву в (d). У смузі пропускання спостерігається надмірна пульсація і погане загасання в
смузі затримки (ефект Гіббса). Ці проблеми виникають через різкий розрив на кінцях
усіченої функції sinc. Збільшення довжини ядра фільтра не зменшує ці проблеми; Розрив
буде значним незалежно від того, яким довгим буде M.
На щастя, є простий спосіб поліпшити цю ситуацію. На малюнку (e) показана
плавно звужена крива, звана вікном Блекмана. Множення truncated-sinc, (c), у вікні
Blackman, (e), призводить до ядра фільтра windowed-sinc, показаному в (f). Ідея полягає в
тому, щоб зменшити різкість усічених залишків тим самим поліпшити частотну
характеристику. На малюнку (g) показано це поліпшення. Смуга пропускання тепер
плоска, і ослаблення загасання так добре, що на цьому графіку не видно.
Доступні кілька різних вікон, більшість з яких названі в честь їх початкових
розробників в 1950-х роках. Варто використовувати тільки два, вікно Хеммінга і вікно
Блекмана.
На малюнку 7.2a показана форма цих двох вікон (наприклад, 51 загальна точка на
кривих). Яке з цих двох вікон ви повинні використовувати? Це компроміс між
параметрами. Як показано на рис. 7.2b, вікно Хеммінга приблизно на 20% швидше спадає,
ніж вікно блекмена. Однак, (C) показує, що у вікні Блекмена є краще ослаблення
загасання. Точніше, ослаблення загасання для Блекмена становить -74 дБ (~ 0,02%), а
Хеммінга - тільки -53 дБ (~ 0,2%). Хоча на цих графіках цього не видно, у вікні Блекмена
пульсація смуги пропускання становить всього близько 0,02%, тоді як у вікні Хеммінга
зазвичай становить 0,2%. Загалом, фільтр Блекмена повинен бути вашим першим
вибором. Повільне спадання легше обробляти, ніж слабке затухання.