Page 28 - 4824

*
– ▼R(u )=0.
*
Достатньою умовою того, що u – точка локального
мінімуму є наступна:
2
 R (u * )  0 , тобто матриця Геесе – додатньовизначена
(для випадку максимума матриця Геесе від’ємно визначена).
2
Якщо величина u T  R (u ) u 0 для всіх u, то R (u )
називається випуклою функцією, а локальний мінімум стає
глобальним.
Як було сказано в лабораторній роботі №1 множники
Лагранжа можна використати для побудови критеріїв
оптимальності для задач оптимізації з обмеженнями у вигляді
рівностей. Кун і Танкер узагальнили цей підхід на випадок
загальної задачі нелінійного програмування з обмеженнями як
у вигляді рівностей, так і у вигляді нерівностей. Кун і Танкер
побудували необхідні і достатні умови оптимальності,
виходячи із припущення про диференціальність функції (uR ),
g j i n j. Теорема Куна-Таккера застосовується тільки для такого
класу задач, для яких градієнти активних обмежень лінійно
незалежні.
*
Для того, щоб точка u була локальним мінімумом
*
*
задачі, необхідно, щоб існували вектори w ,  , які б
задовольняли умови:
g (u *)  , 0 i  , 1 ; g (4.2)
i
h ( u*)  , 0 j 1 , m; (4.3)
j
w * g ( u*)  i , 0  q , 1 ; (4.4)
i i
w *  i , 0  q , 1 ; (4.5)
i
L (u ,w , )  0 , (4.6)
де L (u , w , ) – узагальнена функція Лагранжа, яка
визначається як
w m
L( u, w, )  R )( u   w i g ( u)    i h ( u)
j
i
 i 1  j 1