Page 20 - 4401

Встановимо форму вільної поверхні рідини при
обертанні посудини навколо вертикальної осі. Для цього на
вільній поверхні виділимо т. С з координатами r, h. Згідно з
визначенням вільної поверхні dp = 0. Тоді рівняння (4.4) буде
мати вигляд:

2
ω rdr = gdz (4.7)

Розв’язок рівняння (4.7) в межах вільної поверхні буде:
 2 r 2
h  h  . (4.8)
0
2 g

З рівняння (4.8) видно, що вільна поверхня має форму
параболоїда обертання. Позначимо через z = h-h 0 висоту
параболоїда радіусом r. Тоді (4.8) має вигляд:

 2 r 2
z  . (4.9)
2 g

При розв’язанні задач на відносний спокій рідини при
обертанні відкритого циліндра (чи посудини іншої форми,
наприклад, зрізаного конуса) навколо вертикальної осі можуть
мати місце три випадки:
1. Вершина параболоїда обертання не доторкається до
дна посудини (рис. 4.6, а). Об’єм рідини, який знаходиться в
посудині, при цьому дорівнює:
 R 2 z 2
V    R h . (4.10)
p 0
2

2. Вершина параболоїда доторкнулась до дна посудини
(рис. 4.6, б)

 R 2 z
V  . (4.11)
p
2

18