Page 210 - 4371

1
f   00  ,  xf    1 x 2 ; видно, що   00 f  , отже
2
cos x
  
досить показати, що   0xf  при x  ,0  .
 2 
 2 2
Як відомо, при 0  x  tgx  . Звідси tg x  x , або
x
2
2
2
sin 2 x  x cos 2 x , 1 cos 2 x  x cos 2 x і, поділивши на
1
cos 2 x , отримуємо  1 x 2  0, тобто   0xf  , що і
2
cos x
вимагалось.
7.20 а) Запишемо нерівність в еквівалентній формі:
e y 0 y  1 y  y і розглянемо функцію
0
f  y  e y 0 y  1 y  y при фіксованому y . Доведемо, що
0 0
f   0y для будь-якого y . Зауважимо, що   0yf ;
0
 f    ey y  0 y  1 і f    0y . Видно, що f    0y при
0
y  y і   0yf  при y  y , отже, при y  y функція
0 0 0
f  y приймає своє найменше значення, яке рівне 0, тому
f   0y при будь-якому y .
б) Покладемо в попередній нерівності y  f  x ,
1
1  f  dxx  1 
dx
x
y   f  dxx , одержимо: e f  x  e 0  1 f   fx     .
0  
0  0 
Проінтегруємо цю нерівність в межах від 0 до 1 (врахуємо,
1
що f  dxx  const ):

0
1
1  f  dxx  1 1 1 1 


 e f   x dx  e 0   f  dxx  f  dxx  dx  ,
 dx


0  0 0 0 0 
1
1  f  dxx
або e f  x dx  e 0 , що і потрібно було довести.

0
210