Page 17 - 4363

y (x ) в точках x , x ,..., x . Найчастіше x  x  ih , i = 0, 1, ...,
1 2 n i 0
n, де h – крок збільшення змінної x, n - число інтервалів
розв’язку з кроком h.
Розглянемо тут дві групи чисельних методів розв’язку
задачі Коші: однокрокові і багатокрокових.
Однокрокові методи
Однокрокові методи - це методи, в яких для знаходження
наступної точки на кривій y = f (x) потрібна інформація лише
про одне в попередньому кроці. Найпростішим з
однокрокових методів є метод Ейлера:
y  y (x , y )h , i 1 , 0 ,..., n 1 (2.2)
 i 1 i i
Метод Ейлера має невисоку точність (порядку h).
4
Для досягнення більш високої точності (порядку h )
використовують метод Рунге-Кутта четвертого порядку:
k  2 k  2 k  k
y  y  0 1 2 3 , де
i 1 i
6
h k
k  h f  (x , y ) , k  h f  (x  , y  1 ) (2.3)
0 i i 2 i i
2 2
h k
k  h f  (x  , y  0 ) , k  h f  (x  h , y  k )
1 i i 3 i i 2
2 2
Багатокрокові методи
У багатокрокових методах для відшукання наступної
точки кривої у = f (x) потрібна інформація більш ніж про одну
з попередніх точок.
Нехай знайдено значення y , y y , y , в чотирьох
i 3 i 2 i 1 i
послідовних точках. При цьому є також обчислені раніше
значення правої частини рівняння (2.1) y , y y , y , . Тоді
i 3 i 2 i 1 i
схему методу Адамса можна представити у вигляді:
h 5h 2 3h 3
y  i 1  y i  h  f i    f i    f i    f i , i 4 , 3 ,..., n 1 (2.4)
2 12 8
де кінцеві різниці в точці x мають вигляд:
i

15