Page 76 - 4202

цих сил на координатні осі через X, Y і Z .
Величини сил, які діють на елементарний
паралелепіпед, знаходять множенням напружень на
його паралельних гранях на площу грані (наприклад, на
.
.
.
dydz ), а питомі об'ємні сили – на його об’єм dxdydz.
Оскільки цей паралелепіпед у тілі знаходиться у
рівновазі, то сума проекцій на вісь х цих сил: об’ємної та
нормальних і дотичних (врахувуючи їх різні знаки на
протилежних гранях) дорівнює нулю – рівняння
рівноваги:
 д x   д хy   д хz 
 x  dx  dy dz   xy  dx dx dz   xz  dx  dx dy 


 дх   дх   дх 

 dy dz  dx dz  dx dy  X dx dy dz  . 0
x xy xz
Тоді після скорочення доданків з протилежними
.
.
знаками і ділення на добуток dxdydz отримуємо
рівняння
д д д
х yx zx .
   X  0
дх дy дz
Складіть аналогічні рівняння проекцій сил на осі у і z
. У результаті отримаємо три диференціальних
рівняння рівноваги елементарного паралелепіпеда –
рівняння Нав’є:
д д д 
х yx zx
   X  0 
дх дy дz

д д д 
xy y xy 
  Y  0  . (5.4)
дх дy дz

д д д 
хz yz z
   Z  0 

дх дy дz 
При зменшенні розмірів паралелепіпеда до нуля він
перетворюється у точку, а усі напруження  і  по
суті виявляються складовими напружень на трьох
взаємно перпендикулярних площинках, які проходять

75