Page 48 - 4202

тому що на них нормальні напруження мають
максимальне σ max чи мінімальне σ min значення, а
дотичні відсутні: τ = 0.
Значення головних напружень на головних
площинках при плоскому напруженому стані
визначаються формулою
   1
  x y  (   )  4 2 . (3.21)
2
max x y
min 2 2
Доведення. Вважаємо, що за формулою (3.20) ми знайшли
кут α 0 і на рис. 3.4 б показана головна площинка (α = α 0), на
якій σ α = σ
є головним напруженням (σ max чи σ min); при цьому τ α = 0.
Площі граней трикутного елемента (рис. 3.4 б): похилої A α ;
.
.
вертикальної A x = A α cos α ; горизонтальної A y = A α sin α . Сили
на кожній грані знаходять як добуток напруження на площу.
Ці сили проектуємо тепер на осі x та y. Рівняння рівноваги
сил:
 A cos  A  A  0 ;
 x x yx y
 A sin  A  A  0 .
 y y xy x
Підставте у ці рівняння площі А x і А y , скоротіть А α та
отримайте систему двох лінійних рівнянь:
(  ) cos  sin  0 ;
x yx
 cos  (  ) sin  0 .
xy y
Це система лінійних рівнянь з двома невідомими: cosα і
2
sinα . Вони одночасно не можуть дорівнювати нулю, бо sin α
2
+ cos α = 1 . Тому, щоб система мала розв’язок, повинен
дорівнювати нулю визначник, складений з коефіцієнтів цієї
системи
  
det x yx  ( x  )( y  )  2  0
.
  
xy y
Звідси отримайте квадратне рівняння відносно σ, знайдіть
його корені, зробіть перетворення під радикалом і порівняйте
з (3.21):
 2  ( x  y )  (  x y  2 )  0 ;
2
  1 (   )  1 (   )  ( 4     2 ) .
2 , 1 2 x y 2 x y x y
Знайдіть суму σ max і σ min із формули (3.21) і зробіть
висновок: сума нормальних напружень на двох взаємно

47