Page 50 - 4202

Головні напруження прийнято позначати σ 1 , σ 2 і σ 3
у порядку спадання: σ 1 > σ 2 > σ 3 (з врахуванням
величини і знаку). При плоскому напруженому стані
третє напруження σ z = 0 .
Якщо головні напруження σ 1 і σ 2 відомі, то
нормальне і дотичне напруження на похилій площинці
знаходять так:
   cos 2    sin 2  , (3.23)
 1 2
  
  1 2 sin 2  . (3.24)

2
Отримайте ці формули за рівновагою сил на рис. 3.4,
прийнявши, що це головні площинки і тепер тут діють
головні напруження σ 1 і σ 2 , а відповідно дотичні відсутні (τ
= 0).
Якщо площинки та нормальні напруження, показані на
рис. 3.4, прийняти за головні: σ 1 і σ 2 , то формули (3.23) і
(3.24) легко отримати із (3.18) і (3.19), бо дотичні напруження
відсутні: τ = 0 .
На площинці під кутом β = α + 90 о , яка
перпендикулярна до площинки α (див. рис. 3.3), діють
нормальне σ β і дотичне τ β напруження. Підставте β у
(3.23) і (3.24) та отримайте
   cos 2 (  90   )  sin 2 (  90   )  sin 2    cos 2  , (3.25)
 1 2 1 2
      
  1 2 sin 2 (  180 )   1 2 sin 2     . (3.26)
 
2 2
Додайте (3.23) і (3.25) та аналогічно до (3.16) і (3.22)
знову отримайте інваріант нормальних напружень
       . (3.27)
2


1
Це означає, що при повороті двох взаємно
перпендикулярних площинок (як на рис. 3.3 а чи 3.5 а)
одне нормальне напруження збільшується, одночасно з
цим друге зменшується (або навпаки), проте їх сума
завжди залишається постійною.
Вираз (3.26) виражає закон парності (взаємності)
дотичних напружень аналогічно до (3.17). На
площинках, які нахилені до головних, завжди є дотичні

49