Page 40 - 4202

рівноваги елемента на похилій площинці KC виникає ще
й дотичне напруження τ α . Величини цих напружень
знаходять з рівноваги сил, які діють на елемент. У
результаті:
   cos 2  , (3.11)
 x
1
   sin 2  . (3.12)
 x
2
Доведення. Площа похилої площинки A α = A / cos α .
Проектуємо сили від напружень на нормаль n α . Рівняння
рівноваги сил
 A cos   A   0 .
x
Далі проектуємо сили від напружень на похилу площинку
KC:
 A sin  A   0 .

x
Підставте у ці рівняння площу А , скоротіть А α і отримайте
відповідно формули (3.11) і (3.12).
Напруження σ α і τ α змінюються зі зміною кута α
напрямку похилої площинки. Розглянемо площинки α =
о
о
0 (поперечну) і α = 90 (поздовжню). Вони є головними,
тому що:
– при  0  :    x  max ;    ; 0
– при  90  :    0 min ;    . 0
На головних площинках дотичні напруження
відсутні, а нормальні напруження досягають
максимального і мінімального значення та називаються
головними напруженнями.
На площинках, які нахилені до головних, завжди є
дотичні напруження τ α. Згідно з (3.12) вони досягають
максимуму,
о
коли sin 2α = 1 , тобто при α = 45 :   1    max. (3.13)
 2 x
Розглянемо похилу площинку KD, яка
перпендикулярна до KC (рис. 3.3 а). Її нормаль n β
о
складає кут β = α + 90 з віссю х. На ній діють
нормальне σ β і дотичне τ β напруження (рис. 3.3 в),
величини яких знаходимо із формул (3.11) і (3.12):
   cos 2  (  90  )   sin 2  , (3.14)
 x x
  1  sin 2 (  180   )  1  sin 2  . (3.15)
 2 x 2 x
39