Page 159 - 4202

E     (   );
x x y z
E        0 ; (10.22)
y y z x
E       0 .
z z y x
Додайте друге і третє рівняння (10.22), звідки
знайдіть σ y+σ z , підставте це у перше рівняння (10.22) і
отримайте:
2  1 (   1()  2 )
     ; E   ; (10.23)
y z x x x
1   1 (  )
перед цим провівши такі перетворення:
2  1    2  2 1  2     2  2 1 (   1)(  2 )
1     
1   1   1   1  
.
Із (10.23) виразіть σ х через ε х , застосуйте
співвідношення (7.6), підставте у перше рівняння руху
Коші (9.7) і отримайте:

E 1 (  )   2 u  2 u  2 u  2 u
  ;  c 2 3 ; (10.24)
1 (   1 ( )  2 ) x 2 t  2 t  2  x 2
де с 3 – швидкість хвилі у необмеженому середовищі,
яка повністю співпадає з (10.21): с 3 = а . При цьому у
хвилі діють лише деформації розтягу-стиску ε х у
напрямку х розповсюдження хвилі, не виникають
поперечні деформації (ε y = ε z = 0) і деформації зсуву, а
напружений стан є обємним (тривимірним).
Проілюструємо плоску Р-хвилю поздовжніх
коливань у необмеженому пружному середовищі. Для
цього з виразу (10.14) знайдемо деформації ε х за
співвідношеннями (2.11) або (7.6):
u   x   t  2  2   x   t
   Asin  2        A sin  2     . (10.25)



x
x   L T   L L   L T  
Як бачимо, у даний момент часу t деформації ε х
періодично повторюються по осі х через кожний
відрізок, рівний довжині хвилі L (переконайтесь: якщо
158