Page 157 - 4202

зближуються, а рівняння (10.19), вочевидь, задають ще
й однорідні поздовжні коливання вздовж осі х .
За виразами (10.19) отримайте складові системи
(9.20):
2
 2 u  u   2 u   u
2
 u  ;  V  ; V  ; V   0;
x  2 x   x x  2  y x y
2
  u
V   0.
 z x z
Застосуйте ці вирази у рівняннях Ламе (9.20) і
переконайтесь, що друге і третє рівняння
перетворюються на тотожності. А з першого рівняння
(9.20) отримайте хвильове рівняння розповсюдження
плоскої хвилі у необмеженому середовищі:
 2 u  2 u  2 u  2 u 2  2 u
G  (G  )      a , (10.20)
x  2 х  2 t  2 t  2  x 2

2G   E 1 (  ) 
a   , (10.21)
  1 (  1 ( )   2 )
де а – швидкість хвилі у суцільному пружному
середовищі; при цьому проведіть перетворення пружних
констант Ламе (8.10):
2E  E E 1 (  2  )  E 1 (  ) 
2 G     
1 ( 2  )  1 (   )( 1 2 ) 1 (   )( 1 2 ) 1 (   )( 1 2 )
.
Таку плоску хвилю, яку описує хвильове рівняння
(10.20) і яка розповсюджується у необмеженому
пружному середовищі зі швидкістю а (10.21), називають
поздовжньою Р-хвилею розширення. Це тому, що у ній
виникають лише деформації розтягу-стиску і лише у
напрямку розповсюдження хвилі та не виникають
деформації зсуву. Покажемо це.
Для цього, як на рис. 10.3, у тривимірному
середовищі у напрямку х виділимо стержнеподібний
елемент, який тепер з усіх боків буде взаємодіяти з

156