Page 151 - 4202

u (x  ;t x  t  ) f (x c t ) c (t   ) t  f (x c t  t c  c t ) f (x ) t c
.
Як бачимо, зі зміною часу на Δt функція f (10.11)
відтворюється, переміщуючись на відстань сΔt вправо,
тобто хвиля у вигляді кривої pqr (рис. 10.4) біжить
вправо зі швидкістю с.
Тепер доведіть, що будь-яка функція g від аргумента
(x+ct):
u (x ) ,t  g (x  ) t c , (10.12)
теж є розв’язком хвильового рівняння незалежно від
свого виду. Для цього самостійно повторіть проведені
вище викладки.
Також самостійно покажіть, що зі зміною часу на Δt
функція g (10.12) переміщується вліво на відстань сΔt,
тобто хвиля, задана функцією g (10.12), біжить вліво зі
швидкістю с.
Таким чином, загальним розв’язком хвильового
рівняння є розв’язок Д’Аламбера – сума функцій (10.11)
і (10.12):
u (x ) ,t  f (x  ) t c  g (x  ) t c , (10.13)
при чому вони описують дві хвилі, які
розповсюджуються у взаємно протилежних напрямках.
Це означає, що у суцільному середовищі, де б не
знаходилось місце збурення хвилі, вона від нього
побіжить як мінімум у двох протилежних напрямках.
Загальність розв’язку (10.13) та невизначеність
функцій f і g означає, що хвилі напружень виникнуть і
будуть розповсюджуватись незалежно ні від причини чи
способу їх збурення, ні від форми початкового
розподілу зміщень чи напружень у суцільному
середовищі у початковий момент виникнення хвилі.
Зверніть увагу, що функція (10.13) у пружному тілі
описує переміщення u(x,t) точок плоских перерізів, яке
змінюється з часом. Зрозуміло, що u(x,t) не може
нескінченно збільшуватись, бо точки суцільного
середовища зв’язані та взаємодіють між собою. Тому

150