Page 147 - 4202

В результаті утворюється плоский напружений стан
з напруженнями σ х i σ y (σ z= 0), при чому ε y= 0.
Застосуйте узагальнений закон Гука (8.4), щоб виразити
σ y через σ х:
1 1 1  2
          2    ;
x x y x x x
E E E
(10.8)
1
      0      .
y y x y x
E
Звідси виразіть σ х через ε х і застосуйте співвідношення
(7.6).
Враховуючи, що товщина пластини значно менша
порівняно з її шириною і довжиною, можна знехтувати
переміщеннями w точок перерізу у напрямку z ; а
внаслідок відсутності деформацій ε y не буде переміщень
v у напрямку y. Отже, будуть відсутні зсуви і дотичні
напруження. Таким чином можна сформулювати
наступні умови руху плоских перерізів:
E E  u
u  u (x ) ,t ;   ( x, t ) x  ;   0 ;
x 2 2 z
1   1    x
(10.9)

v  w  0 ;        (x ,t ) ; y  0;
y
x
 y
    0 .
xy yz zx
Застосуйте умови (10.9) у системі рівнянь руху Коші
(9.7) для загального випадку руху точок у пружному
суцільному середовищі, прийнявши, що об’ємні сили
відсутні: X=Y=Z= 0 . Переконайтесь, що друге і третє
рівняння перетворюються на тотожності. А з першого
рівняння (9.7) отримайте хвильове рівняння
розповсюдження плоскої хвилі у тонкій пластині:

E  2 u  2 u E  2 u 2  2 u
  , c 2  ,  c 2 , (10.10)
1  2  x 2 t  2 1 (    2 ) t  2  x 2
де с 2 – швидкість розповсюдження хвилі у тонкій
пластині.

146