Page 149 - 4202

10.4 Розв’язки хвильового рівняння.
Хвильове рівняння (10.6) чи (10.10) зв’язує дві різні
часткові похідні однієї функції. Тому його розв’язком є
функція від двох змінних: від координати х та від часу t.
Розглянемо деяку функцію f від аргумента (x–ct), який
містить ці змінні:

u (x ) ,t  f (x  ) t c . (10.11)
Незалежно від свого виду, функція f (10.11) є
розв’язком хвильового рівняння, оскільки її підстановка
у рівняння (10.6) чи (10.10) перетворює його на
тотожність (задовольняє його).
Перевірте це. Для цього позначте аргумент функції f
одною змінною ξ (ксі), а похідну функції f по ξ через

f ' :
  x  t c ; u  ( f ; )   u   . f 

Тепер знайдіть похідні функції f за правилами
диференціювання складної функції (пригадайте ці
правила):
u   u   2 u  f    2
  f   ( ; ) c   c   c f   ( ) c  c f .  
t   t  t  2  t 


 u  u   2 u  f  2  2 u 2
  f ; 1     f   1  f  ; c  c f .  
x   x  x  2  x  x  2

Як бачимо, будь-яка функція f (10.11) з аргументом
(x–ct) є розв’язком хвильового рівняння незалежно від
свого виду, бо її пряма підстановка у це рівняння
задовольняє його.
Покажемо, що функція f (10.11) описує хвилю.
Спочатку у фіксований момент часу t побудуємо графік
функції f від х, який матиме вигляд, наприклад, кривої
pqr (рис. 10.4). Через деякий час Δt цей графік зміниться.
Проте на відстані Δx=сΔt вправо від початкового
положення він відтвориться у тому ж вигляді кривої
p'q'r'. Перевірте це аналітично підстановкою:

148