Page 143 - 4202

Підставте у (10.5) напруження σ за законом Гука
(2.6) і деформацію ε за співввідношенням (2.11) та
отримайте:
 (E )   2 u E   2 u  2 u 2  2 u
      c , (10.6)
 x t  2   x t  2 t  2  x 2
де с – швидкість розповсюдження хвилі згідно з (10.3).
Рівняння (10.6) називається хвильовим рівнянням.
Його розв’язок – це функція, яка через переміщення u
точок перерізу описує стан (деформацію ε, напруження
σ) у кожному перерізі залежно від його координати х у
стержні та у кожний момент часу t . Хвильове рівняння
(10.6) показує, що прискорення точок перерізу W (9.4)
пропорційне інтенсивності dε/dx зміни деформації ε
(2.11) між суміжними перерізами (зміна деформації
характеризується похідною dε/dx, а не величиною ε), а
2
коефіцієнт пропорційності с залежить лише від власти-
востей матеріалу і не залежить від способу збудження
хвилі.
Хвильове рівняння (10.6) отримане для тонкого
стержня при умові, що його поперечні розміри
достатньо малі порівняно з довжиною. Завдяки цьому
можна прийняти, що виникають лише нормальні
напруження σ х і переміщення перерізів u вздовж осі х , а
у поперечних напрямках y i z не виникають відповідні
напруження σ y i σ z та переміщення v i w , а отже, не
виникають зсуви і дотичні напруження. Запишемо ці
умови:
 u
u  u (x ) ,t ;    ( x, t ) E  E ;
x x
 x (10.7)
v  w  0 ;     0;     0 .
y z xy yz zx
Сформульовані у вигляді (10.7) умови відповідають
руху плоских перерізів у тонкому стержні. Застосуємо
їх безпосередньо у системі рівнянь руху Коші (9.7), яка
отримана для загального випадку руху точок у
пружному суцільному середовищі, прийнявши, що
об’ємні сили відсутні: X=Y=Z= 0 .
142