Page 141 - 4202

а точки – швидкості V. Але перед хвилею (правіше від
фронту хвилі на рис. 10.1) є перерізи, у яких напруження
ще не досягли величини σ, а точки ще не досягли
швидкості V. Більше того, ще далі (ще правіше) від
розглянутої хвилі є шари, де напруження і швидкість
руху точок ще не виникли ( σ = 0 ; V = 0 ).
З іншого боку, лівіше від фронту хвилі є перерізи, які
після досягнення найбільших деформацій чи
переміщення не можуть рухатись далі, бо суміжні з
ними перерізи мають меншу швидкість руху та чинять
їм пружний опір. Тому ці перерізи сповільнюють рух, їх
напруження і деформації зменшуються.
Таким чином, при розповсюдженні пружної хвилі
напруження, деформації і переміщення навіть у двох
близьких (суміжних) перерізах у даний момент часу
будуть відрізнятися. Вони будуть різними у перерізах з
різними координатами х (функцією від х), а також
змінюватися з часом (функція від t).
Щоб знайти цю функцію, виділимо у стержні
довільний елемент між двома перерізами на відстані dx
(рис. 10.2). Відстань dx вибрана достатньо малою, щоб
вважати, що всі точки елемента рухаються з однаковим
прискоренням W. Маса елемента m=ρdxA, де ρ – густина
.
.
матеріалу, А – площа попереччя.
Елемент рухається з прискоренням, тому що на
нього діють сили пружності. Якщо у перерізі з
координатою х діє напруження σ, то у перерізі з
координатою х+dx функція напруження отримує
приріст і становить σ+dσ (рис. 10.2). Сумарна сила, що
діє на елемент, дорівнює сумі сил пружності, які діють
на бічні перерізи елемента і дорівнюють добутку напру-
ження на площу. За другим законом Ньютона самі
отримайте:

 2 u   2 u
F  m W  (  d )A A  dx A    , (10.5)
t  2  x t  2
де згідно з (9.4) прискорення W у напрямку осі х
виражається другою похідною від переміщення u по
часу t .

140