Page 133 - 4202

2
2
 2      u 
G (  )u  (G  ) V     .


x х 2 x  t 2 
Оскільки функції переміщень и, v і w неперервні і
можна змінювати порядок їх диференціювання (див. п.
7.3), внесемо оператор похідної по х всередину кожного
оператора другої похідної (за умови постійної густини ρ
), у тому числі всередину оператора Лапласа (див.
формулу (9.10)):
2
2
2
 2   u  v  w   2 u   2 u   2 u  2 u 
 u                   

x x  x 2 y 2 z 2  x 2  x  y 2  x  z 2  x   x 
,
2
 u     2  u 
2
G     G(  ) V     . (9.22)
 x  х 2 t 2  x 
Самостійно виконайте аналогічне диференціювання
другого рівняння Ламе (9.21) по y, а третього – по z, і
отримайте:
2
 v     2  v 
2
G      G(  ) 2 V   2    ,


 y  y t  y 
(9.23)
2 2
 w      w 
2
G     G(  ) 2 V   2   .
 z  z t  z 
Додайте (9.22) і (9.23), використавши формули
об’ємної деформації або дилатації θ V (7.7) та оператор
Лапласа (9.18):
2
 
2
2
G    (G   )    V . (9.24)
V V 2
t 
Винесіть оператор  2  за дужки та отримайте:
V

2
 
2
2 ( G   )    V . (9.25)
V 2
t 
Це динамічне диференціальне рівняння містить
лише одну функцію об’ємної деформації (дилатації) θ V.
132