Page 131 - 4202

2
де значком  (читається "набла-два") позначений
диференціальний оператор Лапласа
 2 ...  2 ...  2 ...
 2 ...    . (9.18)
x  2 y  2 z  2
У результаті перше рівняння системи отримає
вигляд:
  2 u
(G  )  V  G  2 u  X   . (9.19)
х  t  2
Аналогічно виведіть друге і третє рівняння такої
системи:
  2 u 
2

G  u  (G  )  V  X   2 
х  t 

  2 v 
G  2 v  (G  )  V  Y   2  (9.20)

y  t 

  2 w 
G  2 w (G  )  V  Z  
z  t  2 

Ця система основних диференціальних рівнянь
(9.20) теорії пружності у переміщеннях має назву
рівняння Ламе.
Якщо прийняти, що об’ємні сили відсутні: X=Y=Z= 0
(коли вони значно менші за напруження у
деформованому тілі), то система динамічних рівнянь
Ламе (9.20) отримає вигляд:
  2 u 
2
G  u  (G  )  V  
х  t  2 

  2 v 

G  2 v  (G  )  V   2  (9.21)
y  t 

  2 w 
2
G  w  (G  )  V   2 

z  t  
Бачимо, що у систему рівнянь Ламе входять
переміщення и, v, w та об’ємна деформація (дилатація)
θ V, які зв’язані співвідношенням (7.7). Це дає змогу
130