Page 129 - 4202

д д yx д  2 u
х   zx  X   . (9.9)
дх дy дz t  2
Вирази напружень, які тут фігурують, випишіть із
узагальненого закону Гука у формі Ламе (8.11):
  2 G    ,   G ,   G . (9.10)
x x V yx yx zx zx
Із співвідношень Коші (7.6) випишіть вирази
деформацій:
u  v  u   w u 
  ,    ,    . (9.11)
x yx zx
x  x  y  x  z 
u  v   w
          . (9.12)
V x y z
x  y  z 
Тепер підставте вирази (9.12)і (9.11) у (9.10):

u v u   w u 
  G2  ,   G   ,   G    . (9.13)


x
x V yx  x y  zx  x z 
Для рівняння (9.9) потрібні відповідні похідні цих
виразів:
  2 u  2 u 
x  G  G   V ,
x  x  2 x  2 x 
(9.14)
  2 v  2 u   2 w  2 u
yx  G  G , zx  G  G .
y  x  y  y  2 z  x  z  z  2
Підставте три вирази (9.14) у рівняння (9.9) і
отримайте:
 2 u  2 v  2 w    2 u  2 u  2 u  2 u
G 2      V  G 2  2  2    X  2 . (9.15)


 x   x y  x z  х   x  y  z   t 
Винесіть за перші дужки у (9.15) оператор похідної:
  2 u  2 v  2 w    u  v   w  
G 2      G      G V ; (9.16)



 x  x  y  x  z   x   x  y  z   х 
2
а другі дужки у (9.15) замініть оператором Лапласа  :

128