Page 127 - 4202

це прискорення (а не нулю, як у п. 5.2). Тому суми
проекцій сил на координатні осі х, у, z, які ми знаходили
у п. 5.2, тепер підставте у рівняння (9.6) і отримайте
систему рівнянь:
д д д д 2 u 
х  yx  zx  X  
дх дy дz t д 2 

д д д д 2 v 

xy  y  xy  Y    . (9.7)
дх дy дz t д 2 
д д д д 2 w 
хz  yz  z  Z   
дх дy дz t д 2 

Це система диференціальних рівнянь руху Коші для
точок пружно деформованого тіла. На відміну від
рівнянь статичної рівноваги Нав’є (5.4), вони
дозволяють знаходити компоненти напружено-
деформованого стану у кожний момент часу при
динамічних процесах у середовищі: при внутрішніх
пружних коливаннях точок, при поширенні у пружному
тілі поздовжніх хвиль розтягу-стиску та поперечних
хвиль зсуву тощо.

9.2 Рівняння Ламе у переміщеннях.
Якщо за основні невідомі прийняти переміщення;
тоді у кожній точці тіла будуть лише 3 невідомих
функції:
u (x , y ,z , ) ,t v (x , y ,z ,t , ) w (x , y ,z . ) ,t (9.8)
Така задача зводиться до знаходження 3 функцій
(9.8), які мають задовільняти 3 рівняння динамічної
рівноваги (9.7). Одночасно на поверхні повинні
задовільнятись граничні умови (5.7), які задають
зовнішні сили р Nx , р Ny , р Nz , діючи на тіло.
Щоб розв’язувати задачу теорії пружності у
переміщеннях, треба у рівняннях руху Коші (9.7)
виразити напруження через переміщення. Для цього у
рівняння закону Гука у формі Ламе (8.11), які
виражають напруження через деформації, слід під-
126