Page 123 - 4202

9 ДИНАМІЧНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ.

9.1 Рівняння руху Коші для пружного
середовища.
У розділі 8 з’ясовано, що навіть якщо тіло
закріплене і не рухається у просторі, проте його
внутрішні точки можуть переміщатись за рахунок
пружних деформацій. Зрозуміло, що ці переміщення
малі, але вони є і проходять у часі, тобто положення
точок змінюється з часом – відбувається їх рух.
З кінематики відомо, що швидкість руху точки – це
похідна від її переміщення по часу. Похідна завжди
показує інтенсивність зміни функції (тут: переміщення)
при зміні аргумента (часу). У векторній формі
швидкість точки виражається так:

 d U  u   v   w 
V    i   j  k  , (9.1)
t d t  t  t 
  
де i , j, k – орти (одиничні вектори, напрямлені вздовж
осей х, у і z); и, v і w – проекції переміщення U на
координатні осі.
Оскільки вираз (9.1) є розкладом вектора швидкості
V по осях координат, то у координатній формі проекції
швидкості на осі х, у і z відповідно виражаються так:
 u  v  w
V  , V  , V  . (9.2)
x y z
t  t  t 
Зрозуміло, що у суцільному тілі точка не може
рухатись вільно і далеко, бо вона зв’язана пружними
силами із сусідніми точками, які не рухаються або
рухаються з іншою швидкістю. Тому внаслідок пружної
взаємодії швидкості внутрішніх точок тіла змінюються з
часом за величиною і за напрямком.
Зміна швидкості руху матеріальної точки у часі – це
прискорення W, яке визначається похідною від
швидкості по часу. Якщо прискорення додатне, то точка
пришвидшує свій рух, якщо від’ємне – то сповільнює. У

122