Page 117 - 4202

тобто лише дві з них є незалежними. Це означає, що
якщо для заданого матеріалу дослідним шляхом
визначити дві з цих характеристик, то третю можна
розрахувати (що підтверджується екпериментально).
Якщо у точці напружено-деформованого тіла
знайдені головні напруження  1,  2 і  3 (див. п. 6.2), то
головні деформації у напрямках головних напружень
будуть:
1 
    (  )  ;
1
Е 1 2 3 

1 
    (  )  ; (8.3)

2 2 3 1
Е 
1 
    (  )  .
3 3 1 2 
Е 
Нагадаємо, що об’ємна деформація або дилатація θ V
(7.1) чи (7.7) одночасно є першим інваріантом тензора
деформацій
             . (8.4)
V x y z 1 2 3
Підставте (8.3) у (8.4) та отримайте об’ємний закон
Гука:

1 2 1 2
              , (8.5)
V x y z 1 2 3
E E
У випадку всестороннього гідростатичного стиску
на тіло з усіх трьох напрямів діє однаковий тиск: σ 1 = σ 2
= σ 3 = – σ . Тоді формула (8.5) має вигляд
1 ( 3  2 )  E
      , K  , (8.6)
V
E K 1 ( 3  2 )
де K – модуль об’ємної пружності.
Підставте формули (6.8) та (6.18) у (8.5) і виразіть
об’ємний закон Гука через перший інваріант S σ тензора
напружень або через середнє октаедричне напруження
σ 0 :

116