Page 113 - 4202

Аналогічно попарно додайте по два інших рівняння
похідних кутових деформацій, відніміть третє і знову
продиференціюйте по змінній, не вказаній справа. У
результаті отримайте другу групу рівнянь сумісності
деформацій Сен-Венана:

2
д  д д ху д yz  д  
 zx     2 х 
дх   ду дz дх  ду дх 


2
д  д xy д yz д  д  y 
   zx   2  . (7.12)


ду  дz дх дy  дz дх 

2
д  д д д  д 
 yz  zx  xy   2 z 
дz   дx дy дz   дx дy 

Шість умов (7.11-7.12) будуть виконані, якщо при
розв’язанні задачі теорії пружності вдається за заданими
зовнішніми навантаженнями, що діють на тіло, відразу
знайти функції и, v і w. Якщо далі за рівняннями (7.6)
знайти лінійні і зсувні деформації, то рівняння
сумісності (7.11-7.12) перетворюються у тотожності,
оскільки вони виведені з тих же рівнянь (7.6).
При розв’язанні задач вдається за навантаженнями
знайти, здебільшого, функції напружень у
деформованому тілі, за якими далі за законом Гука
можна знайти деформації. При цьому необхідно
перевіряти, чи знайдені функції деформацій
задовільняють рівняння сумісності (7.11-7.12).
Можна довести, що рівняння сумісності являють
собою необхідні умови для того, щоб за заданими
складовими деформацій із диференційних рівнянь (7.6)
можна було знайти складові переміщень.
Таким чином, диференціальні залежності (7.11-7.12)
є необхідними і достатніми умовами інтегрування
диференціальних рівнянь (7.6), які одночасно
забезпечують однозначність переміщень. Це є
справедливим у випадку, коли тіло обмежене
однозв’язною областю, тобто областю, у межах якої
112