Page 111 - 4202

Додаємо ці вирази, виносимо оператор змішаної
похідної за дужки і, враховуючи кутову деформацію  ху
(7.6), отримаємо
2
2
2
д  д  д 2  ди дv  д 
х  у      xy .
ду 2 дх 2 дх ду  ду дх  дx дy


Виконайте аналогично попарне перехресне
диференціювання виразів (7.6) та отримайте три
рівняння, які зв’язують лінійні й кутові деформації і
утворюють першу групу рівнянь сумісності
деформацій Сен-Венана:
2 2 2 
д  д  д 
х  у  ху 
ду 2 дх 2 дх ду

2
2
2
д  д  д  

у  z  yz  . (7.11)
дz 2 дy 2 дy дz 
2
2
2
д  z  д  x  д  zx 

дx 2 дz 2 дz дx 

Щоб отримати другу групу рівнянь нерозривності,
диференціюємо рівняння кутових деформацій (7.6)
кожне по невказаній змінній:
д д 2 v д 2 u д д 2 w д 2 v
ху
  ; yz   ;
дz дх дz дy дz дх дy дx дz дx
д д 2 u д 2 w
zx   .
ду дz дy дx дy
Спочатку додаємо перші два рівняння і віднімаємо
третє:

д д д д 2 v д 2 u д 2 w д 2 v д 2 u д 2 w
ху yz zx
       
дz дх ду дх дz дy дz дy дx дz дx дz дy дx дy
;

110