Page 109 - 4202

не можуть переміщатися незалежно, утворюючи
розриви. Тому переміщення и, v і w повинні бути
математично неперервними та однозначними функціями
від координат. Для таких функцій їх часткові похідні не
залежать від послідовності диференціювання. Тому
рівняння Коші (7.6) слід диференціювати так, щоб
отримати другі змішані похідні по двох попарно
згрупованих координатах. Після таких математичних
перетворень ми отримаємо шукані залежності між
складовими відносних лінійних і кутових деформацій.
Оскільки ці залежності пов’язані з умовами суцільності
тіл, їх ще називають рівняннями нерозривності
(тотожності Сен-Венана).
Наглядно це можна показати на рис. 7.5.
Ненавантажене тіло можна розділити на багато
елементарних паралелепіпедів і тетраедрів (рис. 7.5 а).
Після навантаження деформації пружного тіла можна
представити як суму пружних лінійних і кутових
деформацій кожного з елементів (рис. 7.5 б), які містять
шість складових (7.6). Якщо рівняння сумісності
(нерозривності) деформацій не виконані, то виявиться
неможливим скласти неперервне тіло з усіх
деформованих елементів (рис. 7.5 в).
Диференціюємо кожне з перших двох рівнянь
деформацій (7.6) двічі по змінній, вказаній у іншому
виразі вибраної пари:
2
2
д  д 3 и д  д 3 v
х  ; y  .
ду 2 дх ду 2 дx 2 дy дx 2

108