Page 42 - 4162

 n 
Тут f  - значення функції  tf в точках відліку,
 
 2 F M 
тобто в дискретні моменти часу:
k 2 1 1 2 k
...;  ; ...;  ;  ; 0 ; ; ...; ; ...;
2F 2F 2F 2F 2F 2F
M M M M M M
або
...;  3 ; t  2 ; t  ; t  ; 0 ; t  2 ; t 3 ; t ...
Звідси можна зробити наступний висновок:
Якщо функція f  t відома в точках відліку, то за
рівнянням (3.14) можуть бути знайдені значення коефіцієнтів С n
ряду Фур’є, що визначають графік частотного спектру  jF . В
свою чергу частотний спектр  jF , згідно рівняння (3.12),
дозволяє знайти значення функції  tf для будь – якого моменту
часу, тобто повністю відновити функцію  tf
Таким чином теорема Котельникова доведена.
Котельников показав також і спосіб відновлення функції
f  t за її миттєвими значеннями в дискретні моменти часу.
Ним отримано рівняння наступного виду:

  n  sin   F2 t   n
f  t   f   M 


n   2 F M    F2 M t   n
. (3.14)
  sin 2  F t  n  t
  f n  t M
n   2 F M t  n  t
Тут nf  t  - миттєві значення функції, відраховані через
1
 t  .
2 F
M
Рівняння (3.14) показує, що функція  tf дорівнює сумі
добутків визначаючих ординат nf  t  на елементарну функцію
виду
sin x sin 2  F t  n  t
 M
x 2  F t  n  t
M
Графік елементарної функції показаний на рис. 3.6.
sin x
Видно, що функція симетрична відносно точки відліку і
x
має в ній максимальне значення, що дорівнює 1. У всіх інших

41