Page 41 - 4162

Нижче приводиться доведення теореми Котельникова.
Нехай комплексний спектр функції  tf буде

j
F     f   et   j t  dt , (3.9)
 
причому згідно умови F   0j при   2  F . Для
M
наглядності комплексний спектр функції  tf представлений
у вигляді графіка на рис. 3.5. З цього графіка видно, що
функція f  t не вміщує складових з частотами, що
перебільшують F м.
Криву  jF , як функцію часу, можна розкласти в ряд
Фур’є з коефіцієнтами
F
2  M n
1  j 2 F
C   F   ej  M d   , (3.10)
n
 2
2  M
F
де n – порядок коефіцієнта ряду Фур’є.
За відомим частотним спектром  jF можна знайти і
функцію
2 F M
1
f  t   F   ej  j t d   . (3.11)
 2
2 F M
n
Прийнявши в це рівняння t  , знайдемо
2 F
M

2  M n
F
 n  1 j
f     F   ej  2 F M d   . (3.12)
 2 F  2 
 M  2  M
F

Порівняємо рівняння (3.10) і (3.12). Вони відрізняються
 1 1 
знаком показника степеня і знаменником  i  .
 4 F 2  
 M 
Отже коефіцієнти С n ряду Фур’є можуть бути знайдені з
виразу
1  n 
C   f   . (3.13)
n  
2 F 2 F
M  M 

40