Page 5 - 2588

(початкового запасу енергії) і називається реакцією на нульову
вхідну дію.
Реакція системи на довільну вхідну дію при нульовому

початковому стані називається реакцією на нульовий
початковий стан.

Система володіє властивістю декомпозиції якщо
виконується наступна умова: якщо y (t ) є реакцією на нульову
0
вхідну дію u )(t  0 при довільному початковому стані, а y (t ) –
u
реакцією на нульовий початковий стан x(t )  0 для довільної
0
вхідної дії то реакція на той же початковий стан і ту ж вхідну дію
буде: y (t ) y (t ).
0 u
Якщо система лінійна відносно нульового початкового стану
та лінійна відносно нульової вхідної дії а також володіє

властивістю декомпозиції то вона називається лінійною.
Аналогічно визначається лінійність відносно співвідношення –
вхід – стан – вихід. Аналогічно визначається лінійність і по

змінній стану. Тобто для лінійних систем загальна зміна стану
описується співвідношенням
x (t )  x (t ) x (t ) .
0 u
Слід виділити властивість стаціонарності. Стаціонарність –
це незалежність характеристик системи від часу початку її
еволюції.

Для випадку лінійних систем рівняння стану у стандартній
формі (1.1) має вигляд

( x  t )  A (t )x (t ) B (t )u (t ),

 ( y t ) C (t )x (t ) D (t )u (t ), (1.2)

( x t )  x ,
0 0
де A (t ),B (t ),C (t ),D (t ) - функціональні матриці відповідних

розмірностей. Для лінійних систем важливим поняттям є
перехідна матриця стану Ф , ( t t ), яка відповідає оператору
0
відображення початкового стануx у текучій стан x (t ) при
0
нульовій вхідній дії:
) ( x t  Ф , ( t t )x . (1.3)
0 0
Розв’язком рівнянь (1.2) з врахуванням (1.3) будуть наступні
вирази:
- реакція стану на нульовий вхідний вплив:

x (t ) Ф , ( t t )x ; (1.4)
0 0 0
- реакція стану на нульовий початковий стан:

5