Page 167 - 14

170
7.6.2. Характеристичні рівняння, власні значення та деякі задачі пов’язані з ними
Знаходження характеристичного рівняння матриці А
Характеристичне рівняння матриці А можна визначити безпосередньо за формулою (4.18)
або за способом, який запропонований Бохером.
У першому випадку обчислення відбуваються за таким алгоритмом:
Sp1. Ввести матрицю А.
Sp2. Сформувати одиничну матрицю того ж розміру, що й матриця А.
На рис. 7.17 для формування одиничної матриці використані програмні оператори for, if i
otherwise. Результатом роботи підпрограми є одинична матриця І .
Відмітимо, що система MathCAD має вбудований оператор rref(A), що формує одиничну
матрицю І , яка відповідає квадратній матриці A (має однаковий з нею розмір).
Sp3. Знайти параметричне рівняння матриці за формулою (4.18).
У другому випадку (див. рис. 7.17) коефіцієнти характеристичного рівняння обчислені за
k
формулою Бохера. Для обчислення слідів матриць tr(A ), k  n , 1 (n – розмір матриці A)
k
використана підпрограма “Обчислення слідів матриці A”, яка повідомляє значення tr(A ) у вигляді
вектора T.
T
Коефіцієнти характеристичного рівняння утворюють вектор a  (a n ,a n 1 ,...,a 0 )
Обчислення власних чисел матриці А
Для обчислення власних чисел матриці A необхідно розв’язати характеристичне рівняння
P ( )  0. Слід відмітити, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння (P ) має порядок
більший двох, застосування оператора solve не завжди приводить до правильного розв’язку
рівняння (P )  0. Тому в програмі, яка наведена на рис. 7.17, використаний інший оператор:
r  polyroots ( V ),
де V - вектор коефіцієнтів при змінних у рівнянні (P )  0.
Вектор V формується за допомогою оператора coeffs,  ( набірна панель “професорська
шапочка”).
Ця операція здійснюється у відповідності з формулою (4.29).
Програма приведення матриці А до діагонального вигляду наведена на рис. 7.18 і працює із
таким алгоритмом:
Sp1. Ввести матрицю А.
Sp2.Обчислити модальну матрицю M. Ця операція здійснюється за допомогою оператора
M  eigenvecs ( ) A .
Sp3. Привести матрицю A до діагонального виду за формулою (4.29).
Результатом розв’язку задачі є діагональна матриця  , на головній діагоналі якої
розміщені характеристичні числа матриці А.
Для перевірки правильності розв’язку задачі за допомогою оператора eigenvals(A)
визначені характеристичні числа  , , матриці А.
1 2 3
Аналіз отриманих результатів показує, що діагоналізація матриці А виконана правильно.
Обчислення матричних многочленів.
Матричний многочлен (поліном) подамо у такому вигляді:
n
i
N( A)   P i A .
 i 0
У програмі, яка наведена на рис. 7.19, порядок матричного полінома n  4 , а його
коефіцієнти формуються у вигляді вектора P .Результатом обчислень є матриця D  N (A ).

7.6.3. Кількісне дослідження математичної моделі
Якщо математична модель лінеаризованого об’єкта подана у формі (4.59) з початковими
умовами (4.10), то її розв’язок визначається формулою (4.68). аналіз цієї формули показує, що