Page 36 - 6109

він є і людиною.
Для імплікації та тотожності справедливі такі твердження:
а  b дорівнює ( ~ а)  b,
а  b дорівнює (а  b)  (~ а  ~ b),
а  b дорівнює (а  b)  (b  а).
З кожним предикатом може бути пов'язаний квантор – елемент, який
визначає, за яких умов предикат перетворюється на істинне висловлювання.
Розрізняють квантор узагальнення () і квантор існування ().

Якщо u позначає змінну, а r – твердження, то запис u r означає, що "r
справджується для всіх u ", а запис u r означає, що "існує u, для якої r
справджується". Перший квантор називають квантором узагальнення, оскільки
кажуть про будь-що у всесвіті ("для будь-якого u, ... "). Для зручoсті запису
позначатимемо його all, другий називається квантором існування, оскільки
вказує на існування деяких об'єктів ("існує u таке, що ... "). Для зручності
запису його позначатимемо exists.
Ось приклади використання цих кванторів:
All (X, чоловік (X) людина (X))
Означає, що для будь-якої змінної X, якщо вона означає чоловіка, то
означатиме і людину також, або ж для будь-якого X, якщо X – чоловік, то X –
людина; або ж: всі чоловіки –люди.
За тим самим принципом:
exists (Z, батько (Іван, Z)  жінка (Z))
означає, що існує певний об'єкт, що може бути позначений змінною Z.
При цьому Іван є батьком Z і Z – жінка. Ми можемо прочитати це таким чином:
існує Z таке, що Іван є батьком Z і Z – жінка; або: Іван має дочку.
У логіці предикатів елементарним об'єктом, який має значення "істина", є
атомарна формула (літерал). Атомарна формула містить символьні
позначення предиката і термів, які відіграють роль аргументів цього предиката.
Узагальнено позначення предиката є ім'ям відношення, яке існує між
аргументами.
Атомарна формула записується як позначення предиката і має такий
вигляд: Р (t 1, t 2, ..., t n )
де Р – позначення предиката, a t 1, t 2, ..., t n – терми.
Число термів для кожного предиката фіксоване і називається його
арністю. Терми визначаються так:
– константний терм – терм;
– змінний терм – терм;
– якщо арність функціональної літери f є п, а t 1, t 2, ..., t n – терми, тоді f(t 1,
t 2, ..., t n) також терм.
Вірно побудована формула отримується в результаті комбінування ато-
марних формул за допомогою логічних зв'язок.
Символ позначає хибну замкнуту формулу і визначає поняття "про-

тиріччя". Так, формула А означає хибність А, вона еквівалентна формулі ~
А.
Серед формул можна виокремити спеціальний клас формул: тотожньо

36