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6 Wave Equation 47
6.1 The Method of Characteristics and the Wave Equation . . . . . . . . . . 47
6.2 Initial Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 The Wave Equation for an Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4 The Wave Equation for a Semi-Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 The Wave Equation for a Finite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6 Waves with a source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.6.1 Source on a half-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6.2 Finite interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7 The Diffusion Equation 60
7.1 Diffusion on the whole line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Diffusion on the half-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Diffusion with a source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4 Source on a half-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5 Diffusion revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8 Initial Boundary Value Problem for the Wave Equation 71
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Dirichlet conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Neumann conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4 Robin conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.5 General Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.6 Separation of variables for nonhomogeneous equations . . . . . . . . . . 83
9 The Heat Equation 85
9.1 Homogeneous Dirichlet conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 Homogeneous Mixed Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Time-Independent Sources and Boundary Conditions . . . . . . . . . 90
9.4 Inhomogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . 92
9.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.5.1 Transformation to a homogeneous equation. . . . . . . . . . . . 93
9.5.2 Direct eigenfunction expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10 Laplace’s Equation 96
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.3 Spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.4 Rectangles and cubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.5 Poisson’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.6 Separation of Variables in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.7 Circles, wedges, and annuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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