Page 5 - 6099
P. 5
Contents
1 Introduction to PDE 3
2 First-order linear equations 7
2.1 The method of characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Transport Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 General constant coefficient equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 The variable coefficient equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 First Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Similarity Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.2 Another Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Classification of second order linear PDEs 19
3.1 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Flows, Vibrations and Diffusions 29
4.1 Simple Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Derivation of Equation (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Vibrating String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Vibrating Drumhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Heat Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Stationary Waves and Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8 The Hydrogen Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Boundary and initial conditions 37
5.1 The vibrating string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5 Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6 Conditions at infinity and jump conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.7 Well-posed problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
i
