Page 5 - 4512

11 СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ

11.1. Спектральний аналіз часового ряду

Ряд Фурьє
Спектральний аналіз в модулі Time Series базується на ро-
зкладі сигналу xi (серії) в ряд Фурьє

a  

 1 
 1
x i 2 0    a k cos 2 f  k t   b k sin 2 f  k t   , (11.1)





k
де змінні визначені наступним чином:
- послідовні частоти fk (frequency) обчислені як k/N (від
k=0 до N/2), де N - число спостережень в ряду;
- період (Period) обчислен як 1/fk і дорівнює числу спос-
тережень для частоти fk;
- косинус-коефіцієнти ak або синус-коефіцієнти bk мо-
жуть трактуватися, як коефіцієнти поліноміальної регресії.

Швидке перетворення Фур'є (FFT)
До середини 1960-х стандартний спосіб обчислення спек-
тру Фур'є полягав в тому, щоб використовувати явні формули
для параметрів косинуса і синуса (11.1). Відповідні обчислення
2
вимагали принаймні N множень (наприклад, 8000 спостере-
жень приведуть принаймні до 64 мільйонів множень). В сере-
дині 1960-х J.W. Cooley і J.W. Tukey (1965) популяризували
алгоритм швидкого перетворення Фур'є (FFT), який був неза-
лежно розроблений різними ученими. Спектральний аналіз, ви-
конаний через алгоритм FFT, вимагав для обчислення час, про-
порційний Nlog2(N). Проте, основний недолік стандартного ал-
горитму FFT полягав в тому, що число спостережень в часо-
вому ряду має бути рівним степені числа 2 (тобто, 16, 64, 128,
256...).
Виконання спектрального аналізу в модулі Time Series не
вводить обмежень для довжини вхідного ряду, що не переви-
щує декілька тисяч значень. Щоб проаналізувати великий часо-
вий ряд в модулі Time Series (наприклад, більш ніж 100 000 зна-

4