Page 146 - 14

149
7.2.4.Побудова фазових траєкторій об’єкта
Раніше вже говорилось, що метод фазових траєкторій дає наочну уяву про динамічні властивості
об’єкта, динаміка якого описується диференційними рівняннями другого порядку.
Як приклад, побудуємо фазові траєкторії фізичного маятника, математична модель якого –
це диференціальне рівняння другого порядку (1.3).
Відносно фазових змінних   x і    x рівняння руху маятника має вигляд системи
1
2
диференціальних рівнянь (1.4), яку ми приведемо до нормальної форми:
dx 1
 x , (7.8)
dt 2
dx 2 m
  gl sin x . (7.9)
dt I 1
2
Момент інерції маятника I обчислюється за формулою I  ml .
Допустимо, що m 1 5 , кг , l  4 , 1 м , а початкові умови приймемо такими:
x (t )  0 , x ( t )  2 , 0 рад с / ; x (t )  0, x t ( )  4 , 0 рад с / ; x (t )  0; x t ( )  9 , 0 рад с / .
1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0
Програма розв’язку цієї задачі (рис. 7.7) має ту саму структуру, що і програма, яка показана
на рис.7.6. Різниця полягає в тому, що графік, який відтворює фазову траєкторію маятника,
побудований в координатах x  x . Для уявлення про характер зміни величин   і  побудовані
1 2
графіки   f ) (t і    f ) (t , які показують, що коливання маятника носять гармонічний характер.
1
Математична модель маятника (7.8), (7.9) отримана із допущення, що відсутній опір його
рухові. При наявності такого опору, рух маятника буде описуватись таким диференційним
рівнянням
y I    yk  mgl sin  0 , (7.10)
де k - коефіцієнт опору.
У фазових змінних x   і x    математична модель маятника (7.13) буде такою:
1 2

dx dx m k
1  x , 2   gl sin x  x .
dt 2 dt I 1 I 2
Hм
Залишимо без змін значення m і l , та початкові умови, а k  5 . 2 .
с
Програма розв’язку моделі наведена на рис. 7.7. Результати розв’язку відтворені у вигляді
графіків, аналіз яких показує, що коливання мають затухаючий характер. На графіку, який
побудований на фазовій площині, це виражається в тому, що відтворююча точка рухається по
спіралі, яка закручується до початоку координат.

7.3. Лінеаризація математичних моделей

Система MathCAD значно спрощує процес обчислення коефіцієнтів лінеаризованої
математичної моделі, позбавляючи користувача від громіздких операцій - взяття похідних. Цього
досягають за допомогою символьного оператора диференціювання, який розміщений на набірній
панелі “Операції вищої математики” (кнопка із символом інтеграла). Символьний оператор має
такий вигляд:
1
d
d
2
У затемнений прямокутник 1 заноситься вираз, від якого необхідно взяти похідну; в прямокутник
2 заноситься змінна, за якою обчислюється похідна, а функція користувача є такою:
Name _ F (Arg , 1 Arg 2 ..., ArgN )  f (x , x ,..., x ) ,
1 2 n
де Name_ F - ім’я функції користувача, яке утворюють за тими правилами, що і ідентифікатори;