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1.6. Continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Integral Function of Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Probability Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Numerical Characteristics of Continuous Random Variables . . . . . 49
Function of continuous random variable. . . . . . . . . . . . . . . 50
Important continuous distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
The uniform distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
The exponential distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
The gamma distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
The normal (Gaussian) distribution. . . . . . . . . . . . . . . . 55
The log-normal distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
The chi-squared distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
The Cauchy and Breit-Wigner distributions. . . . . . . . . . . 60
Weibull distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.7. Random vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Joint distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Discrete bivariate distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Continuous bivariate distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Marginal and conditional distributions. . . . . . . . . . . . . . 63
Properties of joint distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Variances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Covariance and correlation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Transformation of variables in joint distributions. . . . . . . . . . . 69
Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Important joint distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
The multinomial distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
The multivariate Gaussian distribution. . . . . . . . . . . . . . 71
1.8. The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Markov and Chebyshev’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 71
The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2. Mathematical Statistics 77
2.1. Experiments, samples and populations . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Variance and standard deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Moments and central moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Covariance and correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Frequency distributions and histograms . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Estimators and sampling distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Consistency, bias and efficiency of estimators . . . . . . . . . . . . 85
Consistency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Bias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Efficiency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Some basic estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Population mean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Population variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88