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Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Theory of Probability 7
1.1. Combinatorial Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Fundamental principle of counting . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Events. Classification of events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Algebra of Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Classical Definition of Probability. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Statistical Definition of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Basic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Addition of multiple events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Conditional probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dependent Events. Conditional Probability. Multiplication Theorem of
Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
The Total Probability Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Bayes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Statistical, mutual and pairwise independent events . . . . . . . . . . 27
1.4. Bernoulli trials and limit theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bernoulli Trials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Most probable number of successes in Bernoulli trials . . . . . . . . 31
Limit Poisson Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
de Moivre-Laplace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
General Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Arithmetical Operations with DRV . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Numerical Characteristics of DRV . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Mean and its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Variance and its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Standard deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Mode and median. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Central moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Important discrete distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Binomial distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Poisson distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
The geometric and negative binomial distributions. . . . . . 43
The hypergeometric distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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