Page 37 - 4441

Знайдемо похідну від товарообігу по ціні:
2
Z’ = a 0 + 2a 1 • Р + 3a 2 • P . (4.7)
З необхідної умови екстремуму Z' = 0 знайдемо критичні
точки:
2
P  ( a  a  3 aa ) /( 3a ) . (4.8)
2 , 1 1 1 2 0 2
Наведене рівняння можна отримати з умови
Kd = f '(P) • Р / f(P) = -1. Знайдемо залежність еластичності
попиту від ціни:
2
2
Kd=f’(P) •P/f(P)=(a 1•P+2a 2P )/(a 0+a 1•P+a 2•P ). (4.9)

Визначення точки максимального прибутку

Нехай собівартість продукції складається із сталих
затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску
продукції V 1•D. У цьому випадку прибуток підприємства буде
дорівнювати різниці між товарообігом у грошовому виразі і
собівартістю продукції, тобто
2
З
F=D•P-(C+V•D)=a 2•P +(a 1-V•a 2)•P +(a 0-V•a 1)•P-C-V•a 0. (4.10)
Знайдемо оцінку ціни, за якої прибуток буде
максимальним. Якщо в деякій точці р 0, F досягає екстремуму,
то в цій точці похідна дорівнює нулю.
Знайдемо критичні точки:
2
dF/dP=3•а 2•P +2•(a 1-V•a 2)•P+a 0 – V•a 1 = 0, (4.11)
тобто одержимо квадратне рівняння
2
3•а 2•P +2•(a 1-V•a 2)•P+a 0 – V•a 1 = 0. (4.12)
Звідси отримаємо
1/2
Р 3,4=(V•а 2 – а 1±0,5•D )/(3•a 2), (4.13)
2
де D=4•[(а 1 – Vа 2) +За 2•(Va 1-a 0)]. (4.14)
Точку екстремуму знаходимо, дослідивши регресію
товарообігу. Припустимо, що це буде значення p 4, тоді
оптимальну кількість продукції, яку випускають, визначають
за формулою:
2
D 1 = a 0+a 1•p 4+a 2•p 4 , (4.15)
а максимальний прибуток:
3 2
F{p 4} = Z(p 4} – Vf(p 4) = a 2•p 4 + (a 1-Va 2)•p 4 +
+ (a 0-V-a 1)-p 4•C-V–a 0 . (4.16)
38