Page 214 - 4371

1 x y 3
   ,
x  y 1 y 1 x 2
де x  , 0 y  0. Для доведення дослідимо на екстремум
функцію
1 x y
f  , yx     , x  , 0 y  0 .
x  y 1 y 1 x
f  1 1 y f  1 x 1
    ,    
2
x  x   y 2 1  y  1  x 2 y  x  y   1  y 2 1  x
і для знаходження координат стаціонарної точки одержує-
мо систему:
 1 1 y
  2  2 ,
 1  y   yx   1 x 

 1  1  x .
 1 x   yx  2  1 y  2

Почленно віднявши ці рівняння, приходимо до рівності
1 x 1 y 1 y  x 1 x  y
   , або  .
1 y 1 y  2 1 x 1 x  2 1 y  2 1 x  2
2 2
Враховуючи, що 1 x  y  0, отримуємо 1 y   1 x  ,
тобто y  і відносно x маємо рівняння
x
1 1 x 1 x 1
  , або   , звідси
1 x 4x 2 1 x  2 1 x 1 x  2 4x 2
1 1
 , тобто 1 x  x 2 . Таким чином, x  1, тоді
1 x  2 4x 2

y  1 і  1,1M – єдина стаціонарна точка функції xf ,  y ,
причому   31,1f  2. Застосувавши достатні умови екст-
ремуму, неважко переконатись, що M – точка мінімуму, а
оскільки це єдина стаціонарна точка в розглядуваній облас-
ті, то в ній функція приймає своє найменше значення. Отже,
при x , 0 y  0  , yxf  f   31,1  2 , що і вимагалось.

214