Page 157 - 14

160
Різницеве рівняння можна подати в двох формах. Для першої форми
характерним є те, що рівняння виражено через кінцеві різниці від нульового до n-
того порядку (формула 3.23)). Друга
форма різницевого рівняння визначається формулою (3.24). Перехід від однієї
форми до другої здійснюється за допомогою співвідношень (3.25) і (2.26), а
початкові умови перераховуються за формулою (3.13).

Приклад 7.1. Різницеве рівняння
5 , 0  3 y (kT )  1 , 0  2 y (kT )  4 , 0  y (kT )  3 , 0 y (kT )  6 , 0  2 u (kT )  8 , 0  u (kT ) u (kT )
2
з початковими умовами  y ) 0 (  2 , 1 , y ) 0 (  4 , 0 і (y ) 0  5 , 1 привести до форми, що задається
співвідношенням (3.24).
У нашому випадку A 0  ; 4 , 0 A 1  ; 1 , 0 A 2  ; 4 , 0 A 3  ; 3 , 0 B 0  ; 6 , 0 B 1  ; 8 , 0 B 2  1.
Розв’язок задачі здійснюємо за таким алгоритмом:
Sp1. Вводимо значення параметрів вхідного різницевого рівняння. Оскільки для
обчислення коефіцієнтів рівняння (3.24) використовуються індексовані змінні, то параметри
різницевого рівняння зручно вводити як координати векторів (в нашому випадку А і В). Звичайно,
числові значення параметрів рівняння (3.23) можна задати як ранжовані змінні A  ; 5 , 0 A  1 , 0 ,...
0 1
Sp2. Використовуючи формули (3.25) і (3.26), обчислюємо значення коефіцієнтів
різницевого рівняння (3.25) і (3.26). Для обчислення відповідних сум використовуємо оператор
d
суми, який вміщує набірна панель математичних операцій (кнопка  ) і який має форму
dx
шаблону .

У зазначені прямокутники вводяться такі величини:
1- індекс суми;
2- нижнє значення індексу ранжованої змінної;
3- верхнє значення індексу ранжованої змінної;
4- доданки суми .
Sp3. Перераховуємо початкові умови за формулою (3.13).
Різницеве рівняння, яке подано у формі (3.25) є рекурентним співвідношенням, за
допомогою якого можна послідовно крок за кроком обчислювати ординати розв’язку
математичної моделі. Для цього необхідне різницеве рівняння (3.24) розв’язати відносно ординати
з найвищим порядком:
a a a b
y (( k  n T ) )   1 y (( k  n  T ) 1 )  ... n 1 y (( k  T ) 1 )  n ( y kT )  0 u (( k  m T ) ) 
a a a a
0 0 0 0

b b b
1 m 1 m
u (( k  m  T ) 1 )  ... u (( k  T ) 1 )  ( u kT ).
a 0 a 0 a 0
Праву частину отриманого рівняння запишемо через оператор суми:
1 n 1 m
y (( k  )n T )    a i y (( k  n  T)i )   b j u (( k  m  )j T ).
a 0 i 1 a 0 j 0
Візуалізація результатів розрахунку ординат градчастої функції, яка є розв’язком
різницевого рівняння, подана у вигляді таблиці та графіка (рис.7.13). При цьому вхідна величина
u (kT ) була вибрана як одинична гратчаста функція (kTu )  ( 1 kT ).

7.5.2. Знаходження Z-перетворень
Система MathCAD має вбудований оператор Z-Transform, який розміщений в позиції
Symbolic, або на набірній панелі, що активізується кнопкою “професорська шапочка” . Тут цей
оператор має назву ztrans.