Page 173 - 5637

1) для кожної точки ∈ значення функції ∆ ( ) є ( , )-мірним дійсним
вектором з компонентами ∆ ( ), … , ∆ ( , ) ( );

2) точка х є точкою мінімуму щодо околиці ( , ) радіуса тоді, і тільки

тоді, коли ∆ ( ) ≥ 0 при = 1, … , ( , ).

Прикладом вектора спаду може служити функція ∆ ( ) = ( ) − ( ) ( ∈ ,
∈ ( , ), яка задовольняє умовам 1 і 2.

Наведемо схему ефективного породження усіх точок околиці Хеммінга ( , )

( ∈ , ≥ 0). Відзначимо, що для досягнення цієї мети достатньо (в силу (8.10)),

по-перше, вміти знаходити всі крапки ∈ , відстань ( , ) від яких в точності так
само для всіх натуральних , менших . По-друге, досить породжувати всі точки

околиці (0, ), так як будь-яку точку околиці ( , ) можна лінійним

перенесенням перетворити в єдину точку (0, ) і навпаки. По-третє, можна

обмежитися перебором точок околиці (0, ), що лежать в першому октанте

= { , … , : ≥ 0, … , ≥ 0}, так як всі інші її елементи можна отримати,

обертаючи кожну точку ∈ (0, ) ∩ щодо початку координат або, що

еквівалентно, послідовно відображаючи елементи (0, ) ∩ щодо координатних

гіперплоскості. Отже, достатньо вміти породжувати все точки , що лежать в першому
октанте , цілочисельні і віддалені від початку координат на відстані (0, ) =

( = 1, … , ). Це завдання є по своїй суті задача рішення в невід'ємних цілих числах

сукупності рівнянь виду

+. . . + = , = 1, … , . (8.11)

Для розв'язання рівнянь (8.11) побудуємо спеціальну модель. Уявімо собі

осередків, між якими треба проставити − 1 перегородку. Тоді кожному розміщення

перегородок між осередками відповідає рішення ( , … , ) рівняння (8.11), де –

число клітинок, перед першою перегородці; ( = 2, … , − 1) – число комірок між

-й і ( + 1)-й перегородками; – число комірок, наступних за ( − 1)-й

перегородкою. Вірно і зворотнє: кожному рішенню ( , … , ) рівняння (8.11) можна

поставити у відповідність (описаним вище способом) єдине розподіл перегородок в

моделі.

Тепер можна визначити кількість невід'ємних цілих рішень рівняння (8.11):

( , ) = = (8.12)