Page 44 - 6110

Лекція № 11

ДЕРЕВО. БІНАРНЕ ДЕРЕВО ПОШУКУ

Дерево - в інформатиці та програмуванні одна з
найпоширеніших структур даних. Формально дерево визначається
як скінченна множина Т з однієї або більше вершин (вузлів, nodes),
яка задовольняє наступним вимогам:
- існує один особливий вузол - корінь дерева (root);
- інші вузли (за виключенням кореня) розподілені серед m ≥ 0
непересічних множин T 1...T m і кожна з цих множин в свою чергу є
деревом. Дерева T 1...T m мають назву піддерев (subtrees) даного
кореня.
З цього визначення випливає, що кожна вершина є в свою чергу
коренем деякого піддерева. Кількість піддерев вершини має назву
ступеня (degree) цієї вершини. Вершина ступеню нуль має назву
кінцевої (terminal) або листа (leaf). Некінцева вершина також має
назву вершини розгалуження (branch node). Нехай x - довільна
вершина дерева з коренем r. Тоді існує єдиний шлях з r до x. Усі
вершини на цьому шляху називаються предками (ancestors) x. Якщо
деяка вершина y є предком x, то x називається нащадком
(descendant) y. Нащадки та предки вершини x, що не співпадають з
нею самою, називаються власними нащадками та предками. Кожну
вершину x, в свою чергу, можна розглядати як корінь деякого
піддерева, елементами якого є вершини-нащадки x. Якщо вершини
x є предками y та не існує вершин поміж ними (тобто x та y з'єднані
одним ребром), а також існують предки для x (тобто x не є
коренем), то вершина x називається батьком (parent) до y, а y -
дитиною (child) x. Коренева вершина єдина не має батьків.
Вершини, що мають спільного батька, називаються братами
(siblings). Вершини, що мають дітей, називаються внутрішніми
(internal). Глибиною вершини x називається довжина шляху від
кореня до цієї вершини. Максимальна глибина вершин дерева
називається висотою.
Якщо існує відносний порядок на піддеревах T 1...T m, то таке
дерево називається впорядкованим (ordered tree) або пласким (plane
tree).
Лісом (forest) називають множину дерев, які не перетинаються.
Найчастіше дерева в інформатиці зображують з коренем, який
знаходиться зверху (говорять, що дерево в інформатиці “росте
вниз”).
Важливим окремим випадком кореневих дерев є бінарні дерева,
які широко застосовуються в програмуванні і визначаються як
множина вершин, яка має виокремлений корінь та два піддерева
43