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Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Laplace Transform Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Basic principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Continuity Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exponential Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
e Class L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Properties of Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . 15
Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Translation theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Differentiation of the Laplace Transform . . . . . . . . . . 19
Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Laplace Transforms of Periodic Functions . . . . . . . . . 26
e Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . 29
Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Convolutions and eir Applications . . . . . . . . . . . . 44
Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. e Dirac Delta Function and Impulse Response . . . . . . 48
An Example of Impulse Response . . . . . . . . . . . . . 49
e Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Finding the Impulse Function Using Laplace Transform . 51
4. Complex inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Fourier-Mellin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Infinitely Many Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Branch Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. Application of Laplace Transform. . . . . . . . . . . . . . . 71
Solving ordinary differential equations using Laplace
transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
General Procedure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
General Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Solving Systems of Differential Equation Using Laplace
Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Differential Equations with Polynomial Coefficients . . . . 85
Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Laplace Transform Method for Partial differential
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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