Page 37 - 2577

N N N
1  1 i, ( j)
S (
L( S)   kl   kl kl   ij x kl ) .

 1    d
k,  l 1 kl k,  l 1 kl i,  j 1
Введемо змінну S kl   kl  0 .
Таким чином, розв’язується така задача:
N N N
1  1 i, ( j)

min : L( )   kl    kl ( kl   ij x kl ) (2.27)
 1    d
k,  l 1 kl k,  l 1 kl i,  j 1
при виконанні обмежень
0    1, k, l 1 , N (2.28)
kl
 ,1 l  i
N N 
x i, ( j)  x i, ( j)   , 0 l  i, (2.29)
j
 kl  lk
k 1 k 1  , 1 l  j

  ; 0 k, l 1 , N (2.30)
kl
Перепишемо цільову функцію (2.24) в такому вигляді:
N 1    N N 
L( )   kl       kl x i, ( j) . (2.31)
  1   kl kl   ij  d kl

k,  l 1  kl  i,  j 1 k,  l 1 kl
Розглянемо вираз (2.31), в якому другий вираз невід’ємний (  0 ). Будемо
kl
вимагати, щоб і перший доданок був також невід’ємним. Оскільки 0    1, то при
kl
виконанні умови
1
 kl  0 (2.32)
1 
kl
L ( )  0. Це означає, що задачу (2.27) – (2.30) можна розділити на дві підзадачі:
Підзадача 1
N
 1  kl 
    kl  kl   min (2.33)

k, l   1  1   kl 
при виконанні обмежень
0   kl  1. (2.34)
Підзадача 2
N N 
  kl x i, ( j)  min (2.35)
 ij kl
i,  j 1 k,  l 1  d kl
при обмеженнях
 ,1 l  i
N N 
x i, ( j)  x i, ( j)   , 0 l  i, . (2.36)
j
 kl  lk
k 1 k 1  , 1 l  j

Оскільки на змінні  , крім вимоги їхньої недодатності, інших обмежень не
kl
накладається, то ми можемо підзадачу 1 розглядати як задачу на безумовний мінімум,
визначивши  таким чином, щоб виконувались умови (2.34) і   0 .
kl kl
Отже, взявши часткові похідні від виразу (2.33) за змінними  , k, l 1 , N і
kl
прирівнявши їх до нуля, знаходимо
1 1
   0 . (2.37)
 1   2 kl
kl
Із останнього рівняння отримаємо

34